Вернуться к содержанию учебника
Выполните действия:
а) \(\displaystyle \frac{a^2-25}{a+3}\;\cdot\;\frac{1}{a^2+5a}\;-\;\frac{a+5}{a^2-3a};\)
б) \(\displaystyle \frac{1-2x}{2x+1}\;+\;\frac{x^2+3x}{4x^2-1}\;:\;\frac{3+x}{4x+2};\)
в) \(\displaystyle \frac{b-c}{a+b}\;-\;\frac{ab-b^2}{a^2-ac}\;\cdot\;\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2};\)
г) \(\displaystyle \frac{a^2-4}{x^2-9}\;:\;\frac{a^2-2a}{xy+3y}\;+\;\frac{2-y}{x-3}.\)
Вспомните:
а) \( \frac{a^2-25}{a+3}\;\cdot\;\frac{1}{a^2+5a} - \frac{a+5}{a^2-3a}=\)
\(=\frac{(a-5)(a+5)}{a+3}\cdot\frac{1}{a(a+5)} - \frac{a+5}{a^2-3a}=\)
\(=\frac{(a-5)\cancel{(a+5)}}{(a+3)\cdot a\cancel{(a+5)}} - \frac{a+5}{a^2-3a}=\)
\(=\frac{a-5}{a(a+3)} ^{\color{blue}{\backslash{a-3}}} - \frac{a+5}{a(a-3)} ^{\color{blue}{\backslash{a+3}}} =\)
\(=\frac{(a-5)(a-3)-(a+5)(a+3)}{a(a+3)(a-3)} =\)
\( =\frac{(a^2-3a-5a+15)-(a^2+3a+5a+15)}{a(a+3)(a-3)} =\)
\( =\frac{\cancel{a^2}-3a-5a+\cancel{15}-\cancel{a^2}-3a-5a-\cancel{15}}{a(a+3)(a-3)} =\)
\(=\frac{-16\cancel{a}}{\cancel{a}(a^2-9)} =-\frac{16}{a^2-9} \)
б) \( \frac{1-2x}{2x+1}+\frac{x^2+3x}{4x^2-1}:\frac{3+x}{4x+2}=\)
\(= \frac{1-2x}{2x+1}+ \frac{x(x+3)}{(2x-1)(2x+1)}\cdot\frac{2(2x+1)}{x+3} = \)
\(= \frac{1-2x}{2x+1}+ \frac{x\cancel{(x+3)}\cdot2\cancel{(2x+1)}}{(2x-1)\cancel{(2x+1)}\cdot\cancel{(x+3)}}= \)
\(= \frac{1-2x}{2x+1} ^{\color{blue}{\backslash{2x-1}}} +\frac{2x}{2x-1} ^{\color{blue}{\backslash{2x+1}}} =\)
\(=\frac{(1-2x)(2x-1)+2x(2x+1)}{(2x+1)(2x-1)} =\)
\(=\frac{2x-1-\cancel{4x^2}+2x+\cancel{4x^2}+2x}{(2x+1)(2x-1)} =\)
\(=\frac{6x-1}{4x^2-1} \)
в) \( \frac{b-c}{a+b}-\frac{ab-b^2}{a^2-ac}\;\cdot\;\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}=\)
\(=\frac{b-c}{a+b}- \frac{b(a-b)}{a(a-c)}\cdot\frac{(a-c)(a+c)}{(a-b)(a+b)} =\)
\(=\frac{b-c}{a+b}- \frac{b\cancel{(a-b)}\cdot\cancel{(a-c)}(a+c)}{a\cancel{(a-c)}\cdot\cancel{(a-b)}(a+b)}=\)
\(= \frac{b-c}{a+b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} -\frac{b(a+c)}{a(a+b)} =\)
\(=\frac{a(b-c)-b(a+c)}{a(a+b)} =\)
\(=\frac{\cancel{ab}-ac-\cancel{ab}-bc}{a(a+b)} =\)
\(=\frac{-ac-bc}{a(a+b)} =\frac{-c\cancel{(a+b)}}{a\cancel{(a+b)}} =-\frac{c}{a} \)
г) \( \frac{a^2-4}{x^2-9}:\frac{a^2-2a}{xy+3y}+\frac{2-y}{x-3}=\)
\(= \frac{(a-2)(a+2)}{(x-3)(x+3)}:\frac{a(a-2)}{y(x+3)}+\frac{2-y}{x-3}=\)
\(=\frac{(a-2)(a+2)}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{y(x+3)}{a(a-2)}+\frac{2-y}{x-3} =\)
\(=\frac{\cancel{(a-2)}(a+2)\cdot y\cancel{(x+3)}}{(x-3)\cancel{(x+3)}\cdot a\cancel{(a-2)}}+\frac{2-y}{x-3} =\)
\( =\frac{y(a+2)}{a(x-3)}+\frac{2-y}{x-3} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)
\(=\frac{y(a+2)+a(2-y)}{a(x-3)} =\)
\(=\frac{\cancel{ay}+2y+2a-\cancel{ay}}{a(x-3)} =\)
\(=\frac{2a+2y}{a(x-3)}=\frac{2(a+y)}{a(x-3)} \)
Пояснения:
Основные используемые правила:
1) Порядок действий:
если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:
\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)
4) Вынос общего множителя:
\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)
5) Разность квадратов:
\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)
6) Умножение многочлена на многочлен:
\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).
В каждом пункте сначала выполнили умножение или деление дробей, разложив на множители числители и знаменатели дробей и, выполнив сокращение, затем выполнили действия сложения и ли вычитания, приводя дроби к общему знаменателю, после чего сократили одинаковые множители в числителе и знаменателе полученных дробей.
Вернуться к содержанию учебника