Вернуться к содержанию учебника
Выполните действие:
а) \(\displaystyle \frac{x^2}{(x-5)^2} \;-\; \frac{25}{(5-x)^2}\);
б) \(\displaystyle \frac{x^2 + 25}{(x-5)^3} \;+\; \frac{10x}{(5-x)^3}\).
Вспомните:
а) \( \frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(5-x)^2} =\)
\(=\frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(x-5)^2} = \)
\(=\frac{x^2 - 25}{(x-5)^2} = \frac{\cancel{(x-5)}(x+5)}{(x-5)^{\cancel{2}}} =\)
\(=\frac{x+5}{x-5}. \)
б) \( \frac{x^2+25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{(5-x)^3} =\)
\(=\frac{x^2+25}{(x-5)^3} - \frac{10x}{(x-5)^3} =\)
\(=\frac{x^2 + 25 - 10x}{(x-5)^3} =\)
\(=\frac{x^2 - 10x + 25}{(x-5)^3} =\)
\(=\frac{\cancel{(x-5)^2}}{(x-5)^{\cancel{3}}} = \frac{1}{x-5}. \)
Пояснения:
1) При четных степенях значения противоположных выражений равны, поэтому в пункте а) имеем:
\((5-x)^2=(x-5)^2\).
При нечетных степенях значения противоположных выражений противоположны, поэтому в пункте б) имеем:
\((5-x)^3=-(x-5)^3\).
2) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть
\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B},\)
где \(A\) и \(B\) - многочлены, причем \(B\) ненулевой многочлен.
3) При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:
\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)
\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)
4) Затем, если возможно, числитель и (или) знаменатель полученной дроби раскладываем на множители, используя следующие приемы:
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\);
- квадрат разности двух выражений:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2\);
- свойство степени:
\(a^ma^n = a^{m+n}\).
5) Если возможно, сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.
Вернуться к содержанию учебника