Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \[\frac{1}{a(a - b)(a - c)} \;+\; \frac{1}{b(b - c)(b - a)} \;+\; \frac{1}{c(c - a)(c - b)};\]
б) \[\frac{x^2}{(x - y)(x - z)} \;+\; \frac{y^2}{(y - x)(y - z)} \;+\; \frac{z^2}{(z - x)(z - y)}.\]
Введите текст
а) Общий знаменатель \[D = a\,b\,c\,(a-b)(b-c)(c-a).\] Приводим каждое слагаемое к общему знаменателю: \[ \sum = \frac{b\,c\,(b-c)(c-a) + a\,c\,(a-c)(a-b) + a\,b\,(a-b)(b-c)}{D}. \] Покажем, что числитель \[ N = b\,c\,(b-c)(c-a) + a\,c\,(a-c)(a-b) + a\,b\,(a-b)(b-c) = (a-b)(b-c)(c-a). \] Тогда \[ \sum = \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{a\,b\,c\,(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{1}{a\,b\,c}. \] Ответ для пункта а): \(\displaystyle \frac{1}{a b c}.\)
б) Общий знаменатель \[D' = (x-y)(y-z)(z-x).\] Приводим к нему: \[ \sum = \frac{x^2(y-z) + y^2(z-x) + z^2(x-y)}{D'}. \] Раскрываем числитель: \[ x^2y - x^2z + y^2z - y^2x + z^2x - z^2y = xy(x-y) + yz(y-z) + zx(z-x). \] Известно, что \[ xy(x-y) + yz(y-z) + zx(z-x) = (x-y)(y-z)(z-x). \] Следовательно \[ \sum = \frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)} = 1. \] Ответ для пункта б): \(1\).
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
– Приведение дробей к общему знаменателю путём домножения на «единицу» в виде дроби.
– Раскрытие скобок и приведение подобных членов в числителе.
– Использование факта, что \(\;xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)=(x-y)(y-z)(z-x)\), и аналогичного упрощения числителя в пункте а).
– Сокращение одинаковых множителей в числителе и знаменателе.
Вернуться к содержанию учебника