Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что при всех допустимых значениях значение выражения равно нулю:
\[ \frac{1}{(a - b)(b - c)} + \frac{1}{(c - a)(a - b)} + \frac{1}{(b - c)(c - a)}. \]
Введите текст
Общий знаменатель для всех дробей: \[ (a - b)(b - c)(c - a). \]
Приводим каждую дробь к общему знаменателю: \[ \frac{1}{(a - b)(b - c)} = \frac{c - a}{(a - b)(b - c)(c - a)},\quad \frac{1}{(c - a)(a - b)} = \frac{b - c}{(a - b)(b - c)(c - a)}, \] \[ \frac{1}{(b - c)(c - a)} = \frac{a - b}{(a - b)(b - c)(c - a)}. \]
Складываем числители: \[ (c - a) + (b - c) + (a - b) = 0. \] Значит, \[ \frac{0}{(a - b)(b - c)(c - a)} = 0. \]
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
– Чтобы сложить дроби, приводим их к общему знаменателю, умножая на «единицу» в виде дроби.
– При сложении дробей с одинаковым знаменателем суммируем числители.
– В числителе получилась сумма трёх выражений, которые взаимно уничтожаются: \((c-a)+(b-c)+(a-b)=0\).
– Любая дробь с числителем 0 равна 0 при ненулевом знаменателе.
Вернуться к содержанию учебника