Вернуться к содержанию учебника
Представьте в виде дроби:
а) \(x + y + \displaystyle\frac{x - y}{4}\);
б) \(m + n - \displaystyle\frac{1 + mn}{n}\);
в) \(a - \displaystyle\frac{ab + ac + bc}{a + b + c}\);
г) \(a^2 - b^2 - \displaystyle\frac{a^3 - b^3}{a + b}\).
Введите текст
а) \[ x + y + \frac{x - y}{4} = \frac{4(x + y) + (x - y)}{4} = \frac{4x + 4y + x - y}{4} = \frac{5x + 3y}{4}. \]
б) \[ m + n - \frac{1 + mn}{n} = \frac{n(m + n) - (1 + mn)}{n} = \frac{mn + n^2 -1 - mn}{n} = \frac{n^2 - 1}{n}. \]
в) \[ a - \frac{ab + ac + bc}{a + b + c} = \frac{a(a + b + c) - (ab + ac + bc)}{a + b + c} = \frac{a^2 + ab + ac - ab - ac - bc}{a + b + c} = \frac{a^2 - bc}{a + b + c}. \]
г) \[ a^2 - b^2 - \frac{a^3 - b^3}{a + b} = \frac{(a^2 - b^2)(a + b) - (a^3 - b^3)}{a + b} = \frac{a^3 + a^2b - ab^2 - b^3 - (a^3 - b^3)}{a + b} = \frac{a^2b - ab^2}{a + b} = \frac{ab(a - b)}{a + b}. \]
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
– Чтобы сложить или вычесть выражения с дробями, приводим их к общему знаменателю.
– Домножение на единицу в виде \(\tfrac{\text{нужный множитель}}{\text{тот же множитель}}\) для выравнивания знаменателей.
– Раскрытие скобок и приведение подобных членов в числителе.
– Формулы разности квадратов: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) и разности кубов: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
В пункте а) мы объединили сумму и дробь, домножив \(x+y\) на \(\tfrac{4}{4}\), затем сложили числители.
В пункте б) разобрали \(m+n\) как дробь со знаменателем \(n\), затем вычли \(\tfrac{1+mn}{n}\), выполнили раскрытие и упростили выражение.
В пункте в) умножили \(a\) на \(\tfrac{a+b+c}{a+b+c}\), затем вычли общий числитель, раскрыли скобки и сократили одинаковые члены.
В пункте г) применили формулу \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) для представления первого слагаемого, затем вычли дробь с \(a^3-b^3\), раскрыли скобки и выносили общий множитель \(ab\).
Вернуться к содержанию учебника