Вернуться к содержанию учебника
При каких натуральных \(n\) является натуральным числом значение выражения:
а) \(\displaystyle \frac{n+6}{n}\);
б) \(\displaystyle \frac{5n-12}{n}\);
в) \(\displaystyle \frac{36-n^2}{n^2}\)?
Введите текст
а) \(\displaystyle \frac{n+6}{n} = 1 + \frac{6}{n},\quad \frac{6}{n}\in\mathbb{N}\;\Longrightarrow\;n\mid6,\;n=1,2,3,6.\)
б) \(\displaystyle \frac{5n-12}{n} = 5 - \frac{12}{n},\quad \frac{12}{n}\in\mathbb{N},\;5-\frac{12}{n}\ge1 \;\Longrightarrow\;n\mid12,\;\frac{12}{n}\le4,\;n=3,4,6,12.\)
в) \(\displaystyle \frac{36-n^2}{n^2} = \frac{36}{n^2} - 1,\quad \frac{36}{n^2}\in\mathbb{N},\;\frac{36}{n^2}\ge2 \;\Longrightarrow\;n^2\mid36,\;n^2\le18,\;n=1,2,3.\)
Пояснения:
1) Натуральная дробь \(\displaystyle \frac{A}{B}\) является натуральным числом тогда и только тогда, когда \(B\mid A\); в этом случае \(\frac{A}{B}=\frac{kB}{B}=k\in\mathbb{N}.\)
2) В случае выражений вида \(1+\frac{C}{n}\) или \(D-\frac{E}{n}\) требуемое условие сводится к целочисленности дроби \(\frac{C}{n}\) или \(\frac{E}{n}\) и неотрицательности результата.
3) Для пункта (а) проверили делители числа 6: \(\{1,2,3,6\}\).
4) Для пункта (б) проверили делители числа 12 и условие \(5-\tfrac{12}{n}\ge1\), что даёт значения \(\tfrac{12}{n}\le4\), поэтому \(n\in\{3,4,6,12\}.\)
5) Для пункта (в) ввели переменную \(m=\tfrac{36}{n^2}\), потребовали \(m\in\mathbb{N}\) и \(m\ge2\), откуда \(n^2\in\{1,4,9\}\), т.е. \(n\in\{1,2,3\}.\)
Вернуться к содержанию учебника