Упражнение 222 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 57

а) \(\displaystyle\frac{36}{(a - b)^2} = \frac{36}{9^2} = \frac{36}{81} = \frac{4}{9}.\)

б) \(b - a = -(a - b) = -9\), значит

\(\displaystyle\frac{108}{(b - a)^2} = \frac{108}{(-9)^2} = \frac{108}{81} = \frac{4}{3}.\)

в) \(5a - 5b = 5(a - b) = 5\cdot 9 = 45\), поэтому

\(\displaystyle\frac{(5a - 5b)^2}{45} = \frac{45^2}{45} = 45.\)

г) \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 9\,(a^2 + ab + b^2)\), отсюда

\(\displaystyle\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 - b^3} = \frac{a^2 + ab + b^2}{9\,(a^2 + ab + b^2)} = \frac{1}{9}.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Подстановка известного значения \(a - b = 9\) в выражения с квадратом и в линейных сочетаниях.

2. Свойство квадрата: \((b - a)^2 = (-(a - b))^2 = (a - b)^2\).

3. Факторизация разности кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

Развёрнутые пояснения:

– В пунктах а) и б) сразу используем подстановку в квадрат выражения \(a - b\) или \(b - a\), после чего получаем простые дроби.

– В пункте в) представляем разность \(5a - 5b\) как произведение \(5(a - b)\), возводим в квадрат и сокращаем с делителем.

– В пункте г) фактorizуем разность кубов в знаменателе, сокращаем общий множитель и получаем единицу, делённую на \(a - b=9\).