Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что при любом целом \(a\) и дробном \(x\) значение выражения
\[ \biggl(a - \frac{a^2 + x^2}{a + x}\biggr)\;\cdot\;\biggl(\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x}\biggr) \]
является чётным числом.
Введите текст
Обозначим исходное выражение через \(E\):
\[ E = \biggl(a - \frac{a^2 + x^2}{a + x}\biggr)\;\cdot\;\biggl(\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x}\biggr). \]
1) Преобразуем первый множитель:
\[ a - \frac{a^2 + x^2}{a + x} = \frac{a(a + x) - (a^2 + x^2)}{a + x} = \frac{a^2 + ax - a^2 - x^2}{a + x} = \frac{x(a - x)}{a + x}. \]
2) Преобразуем сумму во втором множителе:
\[ \frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x} = \frac{2a(a - x) + 4a x}{x(a - x)} = \frac{2a(a - x + 2x)}{x(a - x)} = \frac{2a(a + x)}{x(a - x)}. \]
3) Перемножаем полученные дроби:
\[ E = \frac{x(a - x)}{a + x}\;\cdot\;\frac{2a(a + x)}{x(a - x)} = 2a. \]
Так как \(2a\) — удвоенное целое число, то оно чётно.
Пояснения:
Использованные приёмы и правила:
— Приведение к общему знаменателю и вычитание дробей.
— Вынесение общего множителя: \(x(a - x)\) и \(2a(a + x)\).
— Сокращение одинаковых множителей в произведении дробей.
— Свойство чётности: любое число вида \(2a\), где \(a\) целое, является чётным.
В результате всех преобразований исходное выражение обращается в постоянное значение \(2a\), не зависящее от \(x\), и при любом целом \(a\) оно чётно.
Вернуться к содержанию учебника