Упражнение 250 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 61

Обозначим

\[ L = a^3 + b^3 + \Bigl(\frac{b\,(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\Bigr)^3, \quad R = \Bigl(\frac{a\,(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\Bigr)^3. \]

Для доказательства сведём обе части к общему знаменателю \((a^3 - b^3)^3\). Тогда

\[ L = \frac{(a^3+b^3)\,(a^3 - b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} + \frac{b^3\,(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} = \frac{(a^3+b^3)\,(a^3 - b^3)^3 + b^3\,(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3}. \]

Раскроем кубы в числителе:

\[ (a^3 - b^3)^3 = a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9, \quad (2a^3 + b^3)^3 = 8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9. \]

Тогда

\[ (a^3+b^3)\,(a^3 - b^3)^3 = a^3\,(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9) + b^3\,(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9), \]

\[ b^3\,(2a^3 + b^3)^3 = b^3\,(8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9). \]

Слагая их, получаем

\[ a^{12} + 6a^9b^3 + 12a^6b^6 + 8a^3b^9 = a^3\,(a^9 + 6a^6b^3 + 12a^3b^6 + 8b^9) = a^3\,(a^3 + 2b^3)^3. \]

Следовательно

\[ L = \frac{a^3\,(a^3 + 2b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} = \Bigl(\frac{a\,(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\Bigr)^3 = R. \]

Пояснения:

— Мы привели обе части тождества к общему знаменателю \((a^3 - b^3)^3\).

— Для раскрытия кубов использовали формулу \((u \pm v)^3 = u^3 \pm 3u^2v + 3uv^2 \pm v^3\).

— Сложив многочлены, заметили, что число в числителе совпадает с \(a^3\,(a^3 + 2b^3)^3\).

— После сокращения на \((a^3 - b^3)^3\) получили требуемое равенство \(L=R\).