Вернуться к содержанию учебника
При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение:
а) \(\displaystyle \frac{\frac{1}{x-2}+\frac{x}{x+2}}{\frac{3x}{x^2-4}};\)
б) \(\displaystyle \frac{1}{\,1-\frac{1}{\,1-\frac{1}{x}\,}\,}?\)
Введите текст
а) Для выражения
\(\displaystyle \frac{\frac{1}{x-2}+\frac{x}{x+2}}{\frac{3x}{x^2-4}}\)
нельзя, чтобы ни одна из дробей не имела нулевой знаменатель:
\(x-2\neq0\;\Rightarrow\;x\neq2,\)
\(x+2\neq0\;\Rightarrow\;x\neq-2,\)
\(x^2-4\neq0\;\Rightarrow\;x\neq\pm2,\)
а также в\,\(\tfrac{3x}{x^2-4}\) числитель не должен обнуляться:
\(3x\neq0\;\Rightarrow\;x\neq0.\)
Итог: \(x\neq -2,0,2.\)
б) Для выражения
\(\displaystyle \frac{1}{\,1-\frac{1}{\,1-\frac{1}{x}\,}\,}\)
требуется:
\(x\neq0\) (чтобы \(\tfrac1x\) было определено),
\(1-\tfrac1x\neq0\;\Rightarrow\;x\neq1,\)
\(1-\frac{1}{\,1-\tfrac1x\,}\neq0\).
Но
\(\displaystyle 1-\frac{1}{\,1-\tfrac1x\,} =\frac{(1-\tfrac1x)-1}{1-\tfrac1x} =-\frac{1/x}{1-1/x} \neq0\)
при всех \(x\neq0,1\).
Итог: \(x\neq0,1.\)
Пояснения:
В каждом случае выписали все подвыражения, стоящие в знаменателях, и приравняли их к нулю для исключения недопустимых \(x\).
В пункте а) дополнительно потребовалось, чтобы дробь \(\tfrac{3x}{x^2-4}\) не обращалась в ноль (числитель ≠ 0).
В пункте б) проверили вложенную дробь \(\;1-\tfrac1x\), а затем убедились, что внешнее выражение \(1-\frac1{1-\tfrac1x}\) не обнуляется при тех же условиях.
Вернуться к содержанию учебника