Вернуться к содержанию учебника
Представьте в виде рациональной дроби:
а) \(\displaystyle \frac{x - \dfrac{yz}{\,y - z\,}}{y - \dfrac{xz}{\,x - z\,}}\);
б) \(\frac{\frac{a - x}{a} + \frac{x}{\,a - x\,}}{\frac{a + x}{a} - \frac{x}{\,a + x\,}}\);
в) \(\displaystyle \frac{1}{\,1 + \frac{1}{\,1 + \frac{1}{x}\,}\,}\);
г) \(\displaystyle \frac{1}{\,1 - \frac{1}{\,1 + \frac{1}{x}\,}\,}.\)
Введите текст
а) \[ \frac{x - \frac{yz}{y - z}}{y - \frac{xz}{x - z}} = \frac{\frac{x(y - z) - yz}{y - z}}{\frac{y(x - z) - xz}{x - z}} = \frac{\frac{xy - xz - yz}{y - z}}{\frac{xy - xz - yz}{x - z}} = \frac{x - z}{\,y - z\,}. \]
б) \[ A = \frac{a - x}{a} + \frac{x}{a - x} = \frac{(a - x)^2 + ax}{a(a - x)} = \frac{a^2 - ax + x^2}{a(a - x)}, \] \[ B = \frac{a + x}{a} - \frac{x}{a + x} = \frac{(a + x)^2 - ax}{a(a + x)} = \frac{a^2 + ax + x^2}{a(a + x)}, \] \[ \frac{A}{B} = \frac{\,\frac{a^2 - ax + x^2}{a(a - x)}\,}{\,\frac{a^2 + ax + x^2}{a(a + x)}\,} = \frac{a^2 - ax + x^2}{a(a - x)} \cdot \frac{a(a + x)}{a^2 + ax + x^2} = \frac{(a + x)(a^2 - ax + x^2)}{(a - x)(a^2 + ax + x^2)}. \]
в) \[ 1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}, \quad 1 + \frac{1}{\,1 + \frac{1}{x}\,} = 1 + \frac{x}{x + 1} = \frac{2x + 1}{x + 1}, \] \[ \frac{1}{\,1 + \frac{1}{\,1 + \frac{1}{x}\,}\,} = \frac{1}{\frac{2x + 1}{x + 1}} = \frac{x + 1}{2x + 1}. \]
г) \[ 1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}, \quad 1 - \frac{1}{\,1 + \frac{1}{x}\,} = 1 - \frac{x}{x + 1} = \frac{1}{x + 1}, \] \[ \frac{1}{\,1 - \frac{1}{\,1 + \frac{1}{x}\,}\,} = \frac{1}{\frac{1}{x + 1}} = x + 1. \]
Пояснения:
— Для каждого выражения привели суммы или разности дробей к общему знаменателю.
— В пункте а) после вычитания вынесли общий множитель и сократили одинаковый многочлен в числителе и знаменателе.
— В пункте б) отдельно упростили числитель и знаменатель левой и правой частей, затем применили правило деления дробей.
— В пунктах в) и г) последовательно раскрыли вложенные дроби, приведя их к единому знаменателю и сократив.
Вернуться к содержанию учебника