Вернуться к содержанию учебника
Укажите натуральные значения \(n\), при которых \(\sqrt{n^2 - 75}\) является натуральным числом.
Вспомните:
Пусть \(\sqrt{n^2 - 75}=k\), где \(k\in\mathbb{N}\). Тогда
\( n^2 - 75 = k^2 \)
\[ n^2 - k^2 = 75 \]
\[ (n - k)(n + k) = 75 \]
1) \(75= 1\cdot75\)
\( \begin{cases} n - k = 1,\\n + k = 75 \end{cases} \) \((+)\)
\(2n = 76\)
\(n = \frac{76}{2}\)
\(n = 38\in\mathbb{N}\)
\(38 - k = 1\)
\(k = 38 - 1\)
\(k = 37 \in\mathbb{N}\)
2) \(75= 3\cdot25\)
\( \begin{cases} n - k = 3,\\n + k = 25 \end{cases} \) \((+)\)
\(2n = 28\)
\(n = \frac{28}{2}\)
\(n = 14\in\mathbb{N}\)
\(14 - k = 3\)
\(k = 14 - 3\)
\(k = 11 \in\mathbb{N}\)
3) \(75= 5\cdot15\)
\( \begin{cases} n - k = 5,\\n + k = 15 \end{cases} \) \((+)\)
\(2n = 20\)
\(n = \frac{20}{2}\)
\(n = 10\in\mathbb{N}\)
\(10 - k = 5\)
\(k = 10 - 5\)
\(k = 5 \in\mathbb{N}\)
4) \(75= 15\cdot5\)
\( \begin{cases} n - k = 15,\\n + k = 5 \end{cases} \) \((+)\)
\(2n = 20\)
\(n = \frac{20}{2}\)
\(n = 10\in\mathbb{N}\)
\(10 - k = 15\)
\(k = 10 - 15\)
\(k = -5 \notin\mathbb{N}\)
5) \(75= 25\cdot3\)
\( \begin{cases} n - k = 25,\\n + k = 3 \end{cases} \) \((+)\)
\(2n = 28\)
\(n = \frac{28}{2}\)
\(n = 14\in\mathbb{N}\)
\(14 - k = 25\)
\(k = 14 - 25\)
\(k = -11 \notin\mathbb{N}\)
6) \(75 = 75 \cdot1\)
\( \begin{cases} n - k = 75,\\n + k = 1 \end{cases} \) \((+)\)
\(2n = 76\)
\(n = \frac{76}{2}\)
\(n = 38\in\mathbb{N}\)
\(38 - k = 75\)
\(k = 38 - 75\)
\(k = -37 \notin\mathbb{N}\)
Ответ: при \(n = 10; 14; 38\).
Пояснения:
1) Поскольку подкоренное выражение должно давать натуральный корень, пусть \(\sqrt{n^2 - 75}=k\in\mathbb{N}\). Тогда согласно определению арифметического квадратного корня:
\( n^2 - 75 = k^2 \)
2) Разность квадратов даёт разложение
\(\,n^2 - k^2 = (n - k)(n + k)\),
что упрощает поиск решений в целых числах.
3) Подбирая натуральные делители числа 75, составляем системы уравнений относительно множителей \(n - k\) и \(n+k\), которые решаем способом сложения.
4) В ответ записываем только те натуральные значения \(n\), при которых \(k\) также является натуральным.
Вернуться к содержанию учебника