Вернуться к содержанию учебника
(Для работы в парах.) Площадь треугольника \(S\) см² со сторонами \(a\) см, \(b\) см и \(c\) см можно вычислить по формуле Герона:
\[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, \]
где \(p\) — полупериметр треугольника.
Найдите площадь треугольника, стороны которого равны:
а) \(12\) см, \(16\) см, \(24\) см;
б) \(18\) см, \(22\) см, \(26\) см.
(Можете воспользоваться калькулятором.)
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто - задание б), и выполните вычисления.
2) Проверьте друг у друга правильность вычислений.
3) Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза, и выполните необходимые преобразования.
Вспомните:
\( S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, \)
где \(p\) — полупериметр треугольника.
1) а) Если \(a=12\), \(b=16\), \(c=24\), то
\( p = \frac{12 + 16 + 24}{2} =\frac{52}{2}= 26. \)
\(S = \sqrt{26\,(26-12)\,(26-16)\,(26-24)} = \)
\(=\sqrt{26\cdot14\cdot10\cdot2} = \sqrt{7280} \approx 85{,}3\) (см2)
б) Если \(a=18\), \(b=22\), \(c=26\), то
\( p = \frac{18 + 22 + 26}{2} = 33. \)
\( S = \sqrt{33\,(33-18)\,(33-22)\,(33-26)} = \)
\(=\sqrt{33\cdot15\cdot11\cdot7} = \sqrt{38115} \approx 195{,}2\) (см2).
3) Пусть \(a\), \(b\), \(c\) - стороны первого треугольника, тогда его полупериметр
\(p_1 = \frac{a + b + c}{2}\),
а площадь
\( S_1 = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}. \)
Тогда \(2a\), \(2b\), \(2c\) - стороны второго треугольника, тогда его полупериметр
\(p_2 = \frac{2a + 2b + 2c}{2}=\)
\(=\frac{2(a + b + c)}{2} = 2p_1\),
а площадь
\( S_2 = \sqrt{p_2(p_2 - 2a)(p_2 - 2b)(p_2 - 2c)}= \)
\(=\sqrt{2p_1(2p_1 - 2a)(2p_1 - 2b)(2p_1 - 2c)}=\)
\(=\sqrt{2p_1\cdot2(p_1 - a)\cdot2(p_1 - b)\cdot2(p_1 - c)}=\)
\(=\sqrt{16p_1(p_1 - a)(p_1 - b)(p_1 - c)}=\)
\(=\sqrt{16}\sqrt{p_1(p_1 - a)(p_1 - b)(p_1 - c)}=\)
\(=4S_1\)
Ответ: площадь треугольника увеличится в 4 раза.
Пояснения:
– Полупериметр \(p\) определяется как половина суммы сторон.
– В формуле Герона подкоренное выражение всегда неотрицательно для любой тройки сторон, удовлетворяющих неравенству треугольника.
– При увеличении всех сторон в \(k\) раз полупериметр умножается на \(k\), а под корнем получается множитель \(k^4\), откуда площадь увеличивается в \(k^2\) раза.
– Для \(k=2\) новая площадь \(S_2 = 4S_1\): при удвоении сторон площадь возрастает в 4 раза.
– Свойство корня:
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).
Вернуться к содержанию учебника