Вернуться к содержанию учебника
Выполните действие:
а) \(\displaystyle \frac{c}{b - c} \;+\; \frac{b^2 - 3bc}{b^2 - c^2};\)
б) \(\displaystyle \frac{a + 3}{a^2 - 1} \;-\; \frac{1}{a^2 + a}.\)
Вспомните:
а) \( \frac{c}{b - c} + \frac{b^2 - 3bc}{b^2 - c^2}=\)
\( =\frac{c}{b - c} ^{\color{blue}{\backslash{b+c}}} + \frac{b^2 - 3bc}{(b - c)(b+c)}=\)
\( =\frac{c(b + c) + (b^2 - 3bc)}{(b - c)(b+c)} =\)
\( =\frac{bc + c^2 + b^2 - 3bc}{(b - c)(b+c)} =\)
\( =\frac{ b^2 - 2bc + c^2}{(b - c)(b+c)} =\)
\( =\frac{(b - c)^{\cancel2}}{\cancel{(b - c)}(b+c)} = \frac{b - c}{b + c}.\)
б) \( \frac{a + 3}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 + a}=\)
\( =\frac{a + 3}{(a - 1)(a + 1)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} - \frac{1}{a(a + 1)} ^{\color{blue}{\backslash{a-1}}} =\)
\( =\frac{a(a + 3)-(a-1)}{a(a - 1)(a + 1)}=\)
\( =\frac{a^2 + 3a - a + 1}{a(a - 1)(a + 1)}=\)
\( =\frac{a^2 + 2a + 1}{a(a - 1)(a + 1)}=\)
\( =\frac{(a+1)^{\cancel{2}}}{a(a - 1)\cancel{(a + 1)}}=\frac{a+1}{a(a - 1)}\)
Пояснения:
1) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);
- вынесение общего множителя за скобки:
\(kx-ky=k(x-y)\).
3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.
4) Затем в числителе применяем формулы квадрата суммы и квадрата разности:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\);
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab+b^2\).
5) Сокращаем полученную дробь на общий множитель числителя и знаменателя.
Вернуться к содержанию учебника