Вернуться к содержанию учебника
Представьте в виде дроби:
а) \(\displaystyle \frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2 - 4};\)
б) \(\displaystyle \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36 - a^2};\)
в) \(\displaystyle \frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x - 2y};\)
г) \(\displaystyle \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2 - a b}.\)
Вспомните:
а) \( \frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2 - 4}=\)
\(=\frac{4}{y+2} ^{\color{blue}{\backslash{y-2}}} - \frac{3}{y-2} ^{\color{blue}{\backslash{y+2}}} + \frac{12}{(y - 2)(y+2)}=\)
\(= \frac{4(y-2)-3(y+2)+12}{(y-2)(y+2)} =\)
\(= \frac{\cancel{y-2}}{\cancel{(y-2)}(y+2)} =\frac{1}{y+2}\)
б) \( \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36 - a^2}=\)
\( \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} - \frac{a^2}{a^2-36}=\)
\( \frac{a}{a-6} ^{\color{blue}{\backslash{a+6}}} - \frac{3}{a+6} ^{\color{blue}{\backslash{a-6}}} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)}=\)
\( =\frac{a(a+6)-3(a-6)-a^2}{(a-6)(a+6)}= \)
\( =\frac{\cancel{a^2}+6a-3a+18-\cancel{a^2}}{(a-6)(a+6)}= \)
\( =\frac{3a+18}{(a-6)(a+6)}=\frac{3\cancel{(a+6)}}{(a-6)\cancel{(a+6)}}= \)
\( =\frac{3}{a-6}.\)
в) \( \frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x - 2y}=\)
\( =\frac{x^2}{(x-y)^2} ^{\color{blue}{\backslash2}} - \frac{x+y}{2(x - y)} ^{\color{blue}{\backslash{x-y}}} =\)
\( =\frac{2x^2-(x+y)(x-y)}{2(x-y)^2}=\)
\( =\frac{2x^2-(x^2-y^2)}{2(x-y)^2}=\)
\( =\frac{2x^2-x^2+y^2}{2(x-y)^2}=\frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2}.\)
г) \( \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2 - a b}=\)
\(= \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{-b(a - b)}=\)
\(= \frac{b}{(a-b)^2} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} + \frac{a+b}{b(a - b)} ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} =\)
\(= \frac{b^2+(a+b)(a-b)}{b(a-b)^2}=\)
\(= \frac{\cancel{b^2}+a^2-\cancel{b^2}}{b(a-b)^2}=\frac{a^2}{b(a-b)^2}.\)
Пояснения:
1) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);
- вынесение общего множителя за скобки:
\(kx-ky=k(x-y)\);
\(kx-ky=-k(y-x)\);
- противоположные выражения:
\(a-b=-(b-a)\).
3) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть
\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)
4) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.
Вернуться к содержанию учебника