Вернуться к содержанию учебника
Выполните действие:
а) \(\displaystyle \frac{1}{a - 4b} \;-\; \frac{1}{a + 4b} \;-\; \frac{2a}{16b^2 - a^2};\)
б) \(\displaystyle \frac{1}{2b - 2a} \;+\; \frac{1}{2b + 2a} \;+\; \frac{a^2}{a^2b - b^3}.\)
Вспомните:
а) \(\frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} - \frac{2a}{16b^2 - a^2}=\)
\(=\frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} + \frac{2a}{a^2-16b^2}=\)
\(=\frac{1}{a - 4b} ^{\color{blue}{\backslash{a+4b}}} - \frac{1}{a + 4b} ^{\color{blue}{\backslash{a-4b}}} + \frac{2a}{(a-4b)(a+4b)}=\)
\(=\frac{a+4b-(a-4b)+2a}{(a - 4b)(a+4b)}=\)
\(=\frac{\cancel{a}+4b-\cancel{a}+4b+2a}{(a - 4b)(a+4b)}=\)
\(=\frac{2a+8b}{(a - 4b)(a+4b)}=\)
\(=\frac{2\cancel{(a+4b)}}{(a - 4b)\cancel{(a+4b)}}=\frac{2}{a-4b}.\)
б) \( \frac{1}{2b - 2a} - \frac{1}{2b + 2a} + \frac{a^2}{a^2b - b^3}=\)
\( =\frac{1}{2b - 2a} - \frac{1}{2b + 2a} - \frac{a^2}{b^3-a^2b}=\)
\( =\frac{1}{2(b - a)} - \frac{1}{2(b + a)} - \frac{a^2}{b(b^2-a^2)}=\)
\( =\frac{1}{2(b - a)} ^{\color{blue}{\backslash{b(b+a)}}} - \frac{1}{2(b + a)} ^{\color{blue}{\backslash{b(b-a)}}} - \frac{a^2}{b(b-a)(b+a)} ^{\color{blue}{\backslash2}} =\)
\(=\frac{b(b+a)-b(b-a)-2a^2}{2b(b-a)(b+a)} =\)
\(=\frac{\cancel{b^2}+ab-\cancel{b^2}+ab-2a^2}{2b(b-a)(b+a)} =\)
\(=\frac{2ab-2a^2}{2b(b-a)(b+a)} =\)
\(=\frac{\cancel{2}a\cancel{(b-a)}}{\cancel{2}b\cancel{(b-a)}(b+a)}=\frac{a}{b(b+a)}\)
Пояснения:
1) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);
- вынесение общего множителя за скобки:
\(kx-ky=k(x-y)\);
\(kx-ky=-k(y-x)\);
- противоположные выражения:
\(a-b=-(b-a)\);
- свойство степени:
\(a^nb^n = (ab)^n\).
3) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть
\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)
4) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.
5) После выполнения преобразований с числителями сокращаем полученные дроби на общий множитель числителя и знаменателя.
Вернуться к содержанию учебника