Вернуться к содержанию учебника
Выполните действие:
а) \(\displaystyle \frac{a+4}{a^2-2a}\;-\;\frac{a}{a^2-4};\)
б) \(\displaystyle \frac{4-x^2}{16-x^2}\;-\;\frac{x+1}{x+4};\)
в) \(\displaystyle \frac{(a+b)^2}{a^2+ab}\;+\;\frac{(a-b)^2}{a^2-ab};\)
г) \(\displaystyle \frac{x^2-4}{5x-10}\;-\;\frac{x^2+4x+4}{5x+10}.\)
Вспомните:
а) \( \frac{a+4}{a^2-2a}\;-\;\frac{a}{a^2-4}=\)
\( \frac{a+4}{a(a-2)} ^{\color{blue}{\backslash{a+2}}} -\frac{a}{(a-2)(a+2)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)
\(=\frac{(a+4)(a+2)-a^2}{a(a-2)(a+2)} =\)
\(=\frac{a^2+4a+2a+8-a^2}{a(a-2)(a+2)} =\)
\(=\frac{\cancel{a^2}+6a+8-\cancel{a^2}}{a(a-2)(a+2)} =\)
\(=\frac{6a+8}{a(a-2)(a+2)} =\)
\(=\frac{6a+8}{a(a^2-4)}. \)
б) \(\displaystyle \frac{4-x^2}{16-x^2}\;-\;\frac{x+1}{x+4}=\)
\( \frac{4-x^2}{(4-x)(4+x)}-\frac{x+1}{x+4} ^{\color{blue}{\backslash{4-x}}} =\)
\(=\frac{4-x^2 - (x+1)(4-x)}{(4-x)(x+4)} =\)
\( = \frac{4-x^2 - (4x +4 -x^2 -x)}{(4-x)(x+4)} =\)
\(=\frac{4-x^2 - (3x+4 -x^2)}{(4-x)(x+4)} =\)
\(=\frac{\cancel{4}-\cancel{x^2}-3x-\cancel{4}+\cancel{x^2}}{(4-x)(x+4)} =\)
\(=\frac{-3x}{(4-x)(x+4)} = \)
\(=\frac{3x}{-(4-x)(x+4)} = \)
\(=\frac{3x}{(x-4)(x+4)} = \frac{3x}{x^2-16} . \)
в) \( \frac{(a+b)^2}{a^2+ab}\;+\;\frac{(a-b)^2}{a^2-ab}=\)
\( \frac{(a+b)^{\cancel{2}}}{a\cancel{(a+b)}} + \frac{(a-b)^{\cancel{2}}}{a\cancel{(a-b)}} =\)
\(=\frac{a+b}{a} + \frac{a-b}{a} =\)
\(=\frac{(a+b)+(a-b)}{a} =\)
\(=\frac{a+\cancel{b}+a-\cancel{b}}{a} =\frac{2\cancel{a}}{\cancel{a}} = 2. \)
г) \(\displaystyle \frac{x^2-4}{5x-10}\;-\;\frac{x^2+4x+4}{5x+10}=\)
\(= \frac{\cancel{(x-2)}(x+2)}{5\cancel{(x-2)}} -\frac{(x+2)^{\cancel{2}}}{5\cancel{(x+2)}} = \)
\(= \frac{x+2}{5} -\frac{x+2}{5} =0 \)
Пояснения:
В пунктах а) и б):
1) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);
- вынесение общего множителя за скобки:
\(kx-ky=k(x-y)\).
3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним правило умножения многочлена на многочлен:
\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).
4) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть
\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)
В пунктах в) и г):
раскладываем на множители числители и знаменатели, затем, не приводя дроби к общему знаменателю, сокращаем отдельно каждую дробь на общий множитель числителя и знаменателя. После сокращения получаем дроби с одинаковыми знаменатели, у которых складываем или вычитаем числители, оставляя знаменатель прежним, в числителе приводим подобные и сокращаем полученную дробь на общий множитель числителя и знаменателя.
Вернуться к содержанию учебника