Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение и найдите его значение при \(x = -1{,}5\):
а) \(\displaystyle \frac{x+1}{x^2 - x} \;-\; \frac{x+2}{x^2 - 1};\)
б) \(\displaystyle \frac{x+2}{x^2 + 3x} \;-\; \frac{1 + x}{x^2 - 9}.\)
Вспомните:
а) \(\displaystyle \frac{x+1}{x^2 - x} - \frac{x+2}{x^2 - 1}=\)
\(=\displaystyle \frac{x+1}{x(x -1)} ^{\color{blue}{\backslash{x+1}}} - \frac{x+2}{(x - 1)(x+1)} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} =\)
\(=\displaystyle \frac{(x+1)^2-x(x+2)}{x(x -1)(x+1)} =\)
\(=\displaystyle \frac{\cancel{x^2}+\cancel{2x}+1-\cancel{x^2}-\cancel{2x}}{x(x -1)(x+1)} =\)
\(= \frac{1}{x(x-1)(x+1)}. \)
Если \(x = -1,5\), то
\(\frac{1}{-1,5\cdot(-1,5-1)\cdot(1,5+1)}= \)
\(=\frac{1}{-1,5\cdot(-2,5)\cdot(-0,5)}= \)
\(=-\frac{1}{\frac32\cdot\frac52\cdot\frac12}=-\frac{1}{\frac{15}{8}}=-\frac{8}{15}\)
б) \(\frac{x+2}{x^2 + 3x} - \frac{1 + x}{x^2 - 9}=\)
\(=\frac{x+2}{x(x + 3)} ^{\color{blue}{\backslash{x-3}}} - \frac{1 + x}{(x - 3)(x+3)} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} =\)
\(=\frac{(x+2)(x-3) - x(x+1)}{x(x - 3)(x+3)}=\)
\(=\frac{\cancel{x^2}-3x+2x-6 - \cancel{x^2}-x}{x(x - 3)(x+3)}=\)
\(=\frac{-2x-6 }{x(x - 3)(x+3)}=\)
\(=\frac{-2\cancel{(x+3)}}{x(x - 3)\cancel{(x+3)}}=\frac{-2}{x(x - 3)}\)
Если \(x = -1,5\), то
\(\frac{-2}{-1,5\cdot(-1,5 - 3)}=\frac{-2}{-1,5\cdot(-4,5)}=\)
\(=\frac{-2}{\frac32\cdot\frac92}=\frac{-2}{\frac{27}{4}}=-2 : \frac{27}{4}=\)
\(=-2\cdot\frac{4}{27}=-\frac{8}{27}\)
Пояснения:
1) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);
- вынесение общего множителя за скобки:
\(kx-ky=k(x-y)\).
3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.
4) В пункте б) в числителе выносим общий множитель за скобки, и сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.
5) При \(x=-1{,}5\) последовательно вычисляем каждую часть, внимательно работая со знаками дробей.
Вернуться к содержанию учебника