Вернуться к содержанию учебника
Зная, что \(a - \dfrac{5}{a} = 2\), найдите значение выражения \(a^2 + \dfrac{25}{a^2}\).
Вспомните:
\( \bigl(a - \frac{5}{a}\bigr)^2 = 2^2. \)
\( a^2 - 2\cdot \cancel{a}\cdot\frac{5}{\cancel{a}} + \bigl(\frac{5}{a}\bigr)^2 = 4. \)
\( a^2 - 10 + \frac{25}{a^2} = 4. \)
\( a^2 + \tfrac{25}{a^2} = 4 + 10 \)
\( a^2 + \frac{25}{a^2}= 14. \)
Пояснения:
• Мы использовали формулу квадрата разности:
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. \)
• При раскрытии получилось выражение, содержащее \(a^2\), \(\frac{25}{a^2}\) и число \(-10\). Сокращение \(a\) в произведении \(a\cdot\frac{5}{a}\) дало число 5, умноженное на 2 — получился 10.
• Перенос свободного члена \(-10\) на другую сторону равенства даёт сумму \(4 + 10\), что и является значением выражения \(a^2 + \frac{25}{a^2}\).
Вернуться к содержанию учебника