Вернуться к содержанию учебника
Представьте дробь
\[\frac{4x + 3}{x^2 - 1}\]
в виде суммы двух дробей со знаменателями \(x - 1\) и \(x + 1\).
Вспомните:
\[\frac{4x + 3}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{x + 1}.\]
\( \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{x + 1}=\)
\(=\frac{a(x + 1) + b(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}=\)
\(=\frac{ax + a + bx - b}{(x - 1)(x + 1)}=\)
\(=\frac{(a + b)x + (a - b)}{(x - 1)(x + 1)}\)
\[\frac{4x + 3}{(x - 1)(x + 1)} =\frac{(a + b)x + (a - b)}{(x - 1)(x + 1)}\]
\[ \begin{cases} a + b = 4,\\ a - b = 3; \end{cases} \]
\[ \begin{cases} a = 4-b,\\ 4-b - b = 3 \end{cases} \]
\(4-b - b = 3\)
\( -2b = 3-4\)
\( -2b = -1\)
\(b=\frac{1}{2}\)
\(b=0,5\)
\(a = 4-b=4-0,5=3,5\)
\( \frac{4x + 3}{x^2 - 1} =\)
\(=\frac{3,5}{x - 1} + \frac{0,5}{x + 1}\)
Пояснения:
Метод разложения в простые дроби:
Чтобы представить рациональную функцию в виде суммы дробей, задаём неизвестные коэффициенты при каждом простом множителе знаменателя, приводим к общему знаменателю и приравниваем числители.
Приравнивание коэффициентов:
Числитель после раскрытия скобок даёт многочлен \((a+b)x + (a-b)\), который должен равняться \(4x + 3\). Составляем систему для коэффициентов при \(x\) и свободного члена.
Вернуться к содержанию учебника