Упражнение 204 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 55

Выполним деление многочленов:

-	\(a^2\)	-	\(4a\)+	\(1\)			\(a\)	-	\(2\)
	\(a^2\)	-	\(2a\)				\(a\)	-	\(2\)
	-	-	\(2a\)+	\(1\)
		-	\(2a\)+	\(4\)
			-	\(3\)

\(a^2 - 4a + 1=(a-2)(a-2)+(-3)\)

\(\frac{a^2 - 4a + 1}{a - 2} = a - 2 + \frac{-3}{a - 2}\)

Чтобы выражение было целым, дробь \(\frac{-3}{a - 2}\) должна быть целой. Значит, \(a - 2\) — делитель числа \(-3\).

Делители \(-3\): \(\pm1,\pm3\). 

Если  \(a - 2 = 1\) , то \(a = 3\):

\(3 - 2 - \frac{3}{1} = -2\).

Если \(a - 2 = -1\), то \(a = 1\):

\(1 - 2 - \frac{3}{-1} = 2\).

Если \(a - 2 = 3\), то \(a = 5\):

\(5 - 2 - \frac{3}{3} = 2\).

Если \(a - 2 = -3\), то \(a = -1\):

 \(-1 - 2 - \frac{3}{-3} = -2\).

Ответ: при \(a=\pm1,3, 5\) дробь принимает целые значения \(-2\) и \(2\).

---

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Выполняем деление многочлена на многочлен  для представления рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2. Дробь \(\frac{p}{q}\) при целых \(p,q\) целая тогда и только тогда, когда \(q\) делит \(p\).

3. Перечисление всех целочисленных делителей числа \(-3\).

Пояснения к шагам:

Сначала разделили \(a^2 - 4a + 1\) на \(a - 2\), чтобы выделить целую часть \(a-2\) и остаток \(-3\).

Затем потребовали, чтобы оставшаяся дробь \(\frac{-3}{a-2}\) была целой, то есть \(a-2\) должен быть делителем \(-3\).

Перебрав значения \(a-2\in\{-3,-1,1,3\}\), получили соответствующие целые \(a\) и вычислили значение всей дроби.