Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:
а) \(\displaystyle \frac{3}{x^2+1}\) положительно;
б) \(\displaystyle \frac{-5}{y^2+4}\) отрицательно;
в) \(\displaystyle \frac{(a-1)^2}{a^2+10}\) неотрицательно;
г) \(\displaystyle \frac{(b-3)^2}{-\,b^2-1}\) неположительно.
Вспомните:
а) \(\displaystyle \frac{3}{x^2+1} > 0\)
\(3>0\), \(x^2+1>0\), поэтому
\(\displaystyle \frac{3}{x^2+1} > 0\).
б) \(\displaystyle \frac{-5}{y^2+4} \)
\(-5<0\), \(y^2+4>0\), поэтому
\(\displaystyle \frac{-5}{y^2+4} <0\)
в) \(\displaystyle \frac{(a-1)^2}{a^2+10}\)
\((a-1)^2\ge0\), \(a^2+10>0\), поэтому
\(\displaystyle \frac{(a-1)^2}{a^2+10}\ge0\)
г) \(\displaystyle \frac{(b-3)^2}{-\,b^2-1}\)
\((b-3)^2\ge0\), \(-b^2-1<0\), поэтому
\(\displaystyle \frac{(b-3)^2}{-\,b^2-1} \le 0\)
Пояснения:
1. Квадрат любого числа неотрицателен: для любого \(t\) выполнено \(t^2\ge0\). Следовательно, суммы вида \(x^2+1\), \(y^2+4\), \(a^2+10\) всегда положительны.
2. Знаменатель в случае г) равен \(-\bigl(b^2+1\bigr)\), где \(b^2+1>0\), значит \(-b^2-1<0\).
3. Числители в пунктах а) и б) — числа\(3\) и \(-5\), сохраняющие свой знак; в пунктах в) и г) — квадраты, неотрицательные.
4. Дробь положительна, если числитель и знаменатель одного знака; отрицательна — если числитель и знаменатель разных знаков; равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не ноль; неположительна, если меньше или равна нулю, неотрицательна, если больше или равна нулю.
Вернуться к содержанию учебника