Вернуться к содержанию учебника
Верно ли утверждение:
а) наибольшее значение дроби \(\displaystyle \frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}\) равно 1;
б) наибольшее значение дроби \(\displaystyle \frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}\) равно 2;
в) наименьшее значение дроби \(\displaystyle \frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}\) равно 2?
Вспомните:
\(\displaystyle \frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}\)
\( 4x^2 + 9 + y^2 + 4xy = \)
\( =(4x^2 + 4xy + y^2) + 9 =\)
\(=(2x + y)^2 + 9\).
\((2x+y)^2 \ge 0\), тогда
\((2x+y)^2 + 9 \ge 9\), тогда наименьшее значение дроби \(\frac{18}{9} = 2\)
а) неверно;
б) неверно;
в) верно.
Пояснения:
1. Полный квадрат \((2x+y)^2\) показывает, что знаменатель никогда не меньше 9, а достигает 9 при условии \(2x+y=0\).
2. Для дроби с положительным числителем и минимальным знаменателем значение дроби будет наибольшим, а при росте знаменателя значение стремится к 0.
3. Таким образом, наибольшее значение дроби равно 2, наименьшее стремится к 0.
Вернуться к содержанию учебника